Originario de la ciudad de Oaxaca, César fue discípulo del maestro Arturo Martínez San Juan, su padre, desde la edad de siete años. A los quince años continuó su formación académica en el Centro Cultural Ollin Yoliztli de la ciudad de México, en la Moores School of Music de la Universidad de Houston, en la Florida International University en Miami y Maestría de la New Mexico State University. Actualmente es alumno de Vardges Stepanian.
El talento de Martinez Bourget, sumado a una férrea disciplina e incansable búsqueda de formas perfectas de expresión musical le han llevado a ser acreedor de varios premios nacionales e internacionales, tales como: el Primer Premio del Concurso "The Schlern International Music Competition (2005)" celebrado en Voëls am Schlern, Italia; así como el Premio a la mejor interpretación de Sonata en el "Khachaturian International Cello Competition (2005)" en Yerevan, Armenia. Igualmente fue laureado en el Concurso "Cinthya Mitchel Woods Pavillion" celebrado en la ciudad de Houston durante el "Texas Music Festival (2004)" y en el "Moores Concerto Competition" en Houston, Texas.
Ha sido principal de violonchelo de las orquestas: Galveston Symphony, Brazosport Symphony, miembro de la Florida Grand Opera Orchestra en Miami, Florida. Actualmente es miembro de la Orquesta Sinfónica de Minería en México desde el 2002 y la Filarmónica de la Ciudad de México.
El perfil musical de Cesar Bourguet es bastante completo; si bien sus interpretaciones como solista revelan una solidez y expresividad fuera de lo común, su actividad camerística es también del más alto nivel como puede constatarse en la producción discográfica Martínez Bourguet Quartet plays Silvestre Revueltas (MB producciones 2007). Su último CD como solista Dans un sommeil revela interpretaciones de compositores del siglo XIX. Ha hecho colaboraciones discográficas con el Cuarteto Latinoamericano. Participó en la primera edición y grabación de la obra de música cámara de J. Moncayo. Hizo su debut en el Merkin Concert Hall y Symphony Space en Nueva York con el Cuarteto La Catrina en Mayo 2010-2011. Fue profesor de la cátedra de violoncello en New Mexico State University. Su nueva producción de solista está por salir a la venta con obras de compositores rusos y armenios con el pianista Alejandro Barrañón el verano del 2012. Ha sido ganador al Grammy Latino en colaboración con el Cuarteto Latinoamericano en el disco Brasilleiro del sello Sono Luminus.